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Exemple de déterminant

Deuxièmement, D est une fonction alternée: pour toute matrice A avec deux colonnes identiques, D (A) = 0. Let s {displaystyle s} un nombre complexe scalaire. Souvenez-vous, ces éléments de la première rangée agissent comme des multiplicateurs scalaires. Ai est la matrice formée en remplaçant la ième colonne de A par le vecteur de colonne b. Nous évaluons notre déterminant 3 × 3 en utilisant l`expansion par les mineurs. Des manuels sur le sujet Spottiswoode a été le premier. L`algorithme final ressemble beaucoup à un produit itéré de matrices triangulaires. Pour montrer qu`AD − BC est la zone signée, on peut considérer une matrice contenant deux vecteurs a = (a, b) et b = (c, d) représentant les côtés du parallélogramme. Tout d`abord, la matrice doit être carrée (i. Il existe diverses façons équivalentes de définir le déterminant d`une matrice carrée A, i.

Cependant, l`expansion de Laplace est efficace pour les petites matrices seulement. Nous ne faisons qu`un autre 0 pour ne calculer que le cofacteur de 1. Dans ce cas, lorsque nous appliquons la formule, il n`est pas nécessaire de calculer les cofacteurs de ces éléments parce que leur produit sera 0. L`analyse fonctionnelle fournit différentes extensions du déterminant pour de telles situations de dimension infinie qui ne fonctionnent toutefois que pour des types particuliers d`opérateurs. Les déterminants apparaissent fréquemment dans les identités algébriques telles que l`identité de Vandermonde. La formule de Laplace exprime le déterminant d`une matrice en termes de ses mineurs. En calculant le volume du tétraèdre délimité par quatre points, ils peuvent être utilisés pour identifier les lignes de inclinaison. Ces déterminants sont soit 0 (par propriété 9), soit ± 1 (par propriétés 1 et 12 ci-dessous), de sorte que la combinaison linéaire donne l`expression ci-dessus en termes de symbole Levi-Civita. Par exemple, dans la formule Leibniz, une somme infinie (dont tous les termes sont des produits infinis) devrait être calculée.

Lewis Carroll de Alice Adventures in Wonderland Fame) a inventé une méthode de calcul des déterminants appelés Dodgson condensation. L`étude des formes spéciales de déterminants a été le résultat naturel de l`achèvement de la théorie générale. Les exemples incluent la décomposition de LU, la décomposition de QR ou la décomposition de Cholesky (pour les matrices définies positives). Dans l`un de ces cas, nous utilisons les méthodes correspondantes pour calculer les déterminants 3×3. Le prochain contributeur d`importance est Binet (1811, 1812), qui a formellement déclaré le théorème relatif au produit de deux matrices de m colonnes et n rangées, qui pour le cas particulier de m = n réduit au théorème de multiplication. Pour cette raison, le plus haut non-Zero puissance extérieure λn (V) est parfois également appelé le déterminant de V et de même pour les objets plus impliqués tels que des faisceaux vectoriels ou des complexes de chaînes d`espaces vectoriels. Plus précisément, pour les matrices avec des coefficients dans un champ, les propriétés 13 et 14 peuvent être utilisées pour transformer n`importe quelle matrice en une matrice triangulaire, dont le déterminant est donné par la propriété 7; C`est essentiellement la méthode de l`élimination gaussienne.

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